Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([0;4]\) lần lượt là \(M, m\). Tính \(M + 2m\)

Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Các khẳng định sau đúng hay sai?

Đáp án: 10

Hướng dẫn giải:

- Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(A'AC\) nên với điểm \(A\) ta có:

\[ \overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AA} + \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AC}\right) = \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AC}\right) \]

- Mặt khác, theo quy tắc hình hộp đối với hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\), ta có:

\[ \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AC} \]

- Từ đó suy ra:

\[ \overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC'} \]

- Đối chiếu với giả thiết \(\overrightarrow{AG} = \frac{a}{b}\overrightarrow{AC'}\), ta được \(\frac{a}{b} = \frac{1}{3}\).

- Vì \(\frac{1}{3}\) là phân số tối giản và \(a, b \in \mathbb{N}\) nên \(a = 1\) và \(b = 3\).

- Vậy giá trị của \(M\) là:

\[ M = a^2 + b^2 = 1^2 + 3^2 = 10 \]

Đáp án: 288

Hướng dẫn giải:

- Gọi chiều rộng của đáy thùng là \(x\) \((x > 0, \text{cm})\). Do chiều dài gấp đôi chiều rộng nên chiều dài là \(2x\).

- Gọi chiều cao của chiếc thùng là \(h\) \((h > 0, \text{cm})\).

- Diện tích đáy của thùng là: \(S_{\text{đáy}} = 2x \cdot x = 2x^2\).

- Diện tích xung quanh của thùng là: \(S_{\text{xq}} = 2 \cdot (x \cdot h) + 2 \cdot (2x \cdot h) = 6xh\).

- Vì thùng không có nắp nên tổng diện tích vật liệu là:

\[ S = 2x^2 + 6xh = 216 \implies h = \frac{216 - 2x^2}{6x} = \frac{108 - x^2}{3x} \]

- Thể tích của chiếc thùng là:

\[ V = 2x \cdot x \cdot h = 2x^2 \cdot \frac{108 - x^2}{3x} = \frac{2}{3}(108x - x^3) \]

- Xét hàm số \(V(x) = \frac{2}{3}(108x - x^3)\) với \(x > 0\), ta có đạo hàm:

\[ V'(x) = \frac{2}{3}(108 - 3x^2) = 2(36 - x^2) \]

- Giải phương trình \(V'(x) = 0 \implies 36 - x^2 = 0 \implies x = 6\) (do \(x > 0\)).

- Lập bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 6\).

- Giá trị thể tích lớn nhất của thùng là:

\[ V_{\text{max}} = V(6) = \frac{2}{3}(108 \cdot 6 - 6^3) = 288 \text{ cm}^3 \]

Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng phần mười).

Đáp án: 14.5

Hướng dẫn giải:

- Tổng số học sinh (cỡ mẫu) là: \(n = 2 + 10 + 16 + 8 + 2 + 2 = 40\).

- **Tìm tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\):**

+ Ta có \(\frac{n}{4} = \frac{40}{4} = 10\). Tần số tích lũy của nhóm thứ nhất là \(2\), nhóm thứ hai là \(2 + 10 = 12\). Do đó, nhóm chứa \(Q_1\) là nhóm \([40; 50)\).

+ Công thức tính: \[ Q_1 = 40 + \frac{10 - 2}{10} \cdot (50 - 40) = 48 \]

- **Tìm tứ phân vị thứ ba \(Q_3\):**

+ Ta có \(\frac{3n}{4} = \frac{3 \cdot 40}{4} = 30\). Tần số tích lũy đến hết nhóm thứ ba là \(2 + 10 + 16 = 28\), nhóm thứ tư là \(28 + 8 = 36\). Do đó, nhóm chứa \(Q_3\) là nhóm \([60; 70)\).

+ Công thức tính: \[ Q_3 = 60 + \frac{30 - 28}{8} \cdot (70 - 60) = 62,5 \]

- **Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:**

\[ \Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 62,5 - 48 = 14,5 \]

Đáp án: 204

Hướng dẫn giải:

- Gốc tọa độ đặt tại vị trí trung tâm là \(O(0; 0; 0)\).

- Vì rađa có phạm vi theo dõi tối đa là \(400\text{ km}\) nên khoảng cách từ vị trí máy bay \(A(185; 290; z)\) đến tâm \(O\) phải thỏa mãn điều kiện:

\[ OA \leq 400 \iff OA^2 \leq 400^2 \]

- Thay tọa độ điểm \(A\) vào công thức tính khoảng cách, ta được:

\[ 185^2 + 290^2 + z^2 \leq 160000 \]

\[ 34225 + 84100 + z^2 \leq 160000 \]

\[ 118325 + z^2 \leq 160000 \]

\[ z^2 \leq 41675 \]

- Do máy bay ở trên trời nên độ cao \(z > 0\), suy ra:

\[ z \leq \sqrt{41675} \approx 204,14 \text{ km} \]

- Làm tròn đến hàng đơn vị, ta được độ cao lớn nhất là \(204\text{ km}\).

a) Xác định tọa độ của hai điểm \(M\) và \(N\) trong hệ tọa độ đó.
b) Tính chiều dài của sợi dây đèn LED.

Đáp án: a) M(2,5; 0; 1,5), N(0; 1,2; 2,4) | b) ≈ 2,92 m

Hướng dẫn giải:

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ, trong đó:

- Gốc tọa độ \(O\) tại góc phòng.

- Mặt phẳng \((Oxz)\) trùng với bức tường thứ nhất chứa điểm \(M\).

- Mặt phẳng \((Oyz)\) trùng với bức tường thứ hai chứa điểm \(N\).

- Mặt phẳng \((Oxy)\) trùng với sàn nhà.

Đơn vị đo trên các trục là mét (\(\text{m}\)).

a) Xác định tọa độ hai điểm \(M\) và \(N\):

- Điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \((Oxz)\) nên có tung độ \(y_M = 0\).

+ Khoảng cách từ \(M\) đến bức tường thứ hai (mặt phẳng \((Oyz)\)) bằng \(2,5\text{m}\), suy ra hoành độ \(x_M = 2,5\).

+ Khoảng cách từ \(M\) đến sàn nhà (mặt phẳng \((Oxy)\)) bằng \(1,5\text{m}\), suy ra cao độ \(z_M = 1,5\).

Vậy tọa độ điểm \(M\) là: \(M(2,5; 0; 1,5)\).

- Điểm \(N\) thuộc mặt phẳng \((Oyz)\) nên có hoành độ \(x_N = 0\).

+ Khoảng cách từ \(N\) đến bức tường thứ nhất (mặt phẳng \((Oxz)\)) bằng \(1,2\text{m}\), suy ra tung độ \(y_N = 1,2\).

+ Khoảng cách từ \(N\) đến sàn nhà (mặt phẳng \((Oxy)\)) bằng \(2,4\text{m}\), suy ra cao độ \(z_N = 2,4\).

Vậy tọa độ điểm \(N\) là: \(N(0; 1,2; 2,4)\).

b) Tính chiều dài của sợi dây đèn LED:

- Chiều dài sợi dây đèn LED chính là độ dài đoạn thẳng \(MN\):

\[ MN = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2 + (z_N - z_M)^2} \]

\[ MN = \sqrt{(0 - 2,5)^2 + (1,2 - 0)^2 + (2,4 - 1,5)^2} \]

\[ MN = \sqrt{(-2,5)^2 + 1,2^2 + 0,9^2} = \sqrt{6,25 + 1,44 + 0,81} \]

\[ MN = \sqrt{8,5} = \frac{\sqrt{34}}{2} \approx 2,92 \text{ (m)} \]

Vậy chiều dài sợi dây đèn LED bằng khoảng \(2,92\text{ m}\).

Đáp án: \(M\left(\frac{7}{2}; \frac{10}{3}; 0\right)\) và \(P_{\min} = \frac{11015}{72}\)

Hướng dẫn giải:

- Ta biến đổi biểu thức tích vô hướng về dạng bình phương độ dài:

\[ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = \frac{1}{2}\left(MA^2 + MB^2 - AB^2\right) \]

- Thay vào biểu thức \(P\), ta được:

\[ P = \frac{1}{2}MA^2 + \frac{1}{2}MB^2 + 2MC^2 + 3MD^2 - \frac{1}{2}AB^2 \]

- Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn hệ thức tâm tỉ cự: \(\frac{1}{2}\overrightarrow{IA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} + 3\overrightarrow{ID} = \vec{0} \iff \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 4\overrightarrow{IC} + 6\overrightarrow{ID} = \vec{0}\).

- Tọa độ điểm \(I\) được xác định là:

\[ x_I = \frac{1\cdot1 + 1\cdot3 + 4\cdot5 + 6\cdot3}{12} = \frac{7}{2} \]

\[ y_I = \frac{1\cdot2 + 1\cdot0 + 4\cdot(-1) + 6\cdot7}{12} = \frac{10}{3} \]

\[ z_I = \frac{1\cdot3 + 1\cdot1 + 4\cdot2 + 6\cdot4}{12} = 3 \]

Suy ra \(I\left(\frac{7}{2}; \frac{10}{3}; 3\right)\).

- Chèn điểm \(I\) vào biểu thức \(P\), ta thu được:

\[ P = 6MI^2 + \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IB} + 2IC^2 + 3ID^2\right) \]

- Do phần trong ngoặc là hằng số không đổi, \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài đoạn thẳng \(MI\) nhỏ nhất.

- Vì \(M\) di động trên mặt phẳng \((Oxy)\), nên \(MI\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên mặt phẳng \((Oxy)\).

- Tọa độ điểm \(M\) cần tìm là: \(M\left(\frac{7}{2}; \frac{10}{3}; 0\right)\).

- Khi đó, \(MI = |z_I| = 3 \implies MI^2 = 9\). Tính toán giá trị các biểu thức vectơ cố định từ tâm tỉ cự \(I\), ta tìm được giá trị nhỏ nhất của \(P\) là: \(P_{\min} = \frac{11015}{72}\).

Đáp án: Cực đại tại x = 1 (y_CĐ = -1); Cực tiểu tại x = 3 (y_CT = 3)

Hướng dẫn giải:

1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\).

2. Đạo hàm và xét dấu:

Ta có: \[ y' = \frac{(2x - 3)(x - 2) - (x^2 - 3x + 3)}{(x - 2)^2} = \frac{2x^2 - 7x + 6 - x^2 + 3x - 3}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2} \]

Cho \(y' = 0 \iff x^2 - 4x + 3 = 0 \iff \begin{cases} x = 1 \\ x = 3 \end{cases}\) (đều thuộc \(D\)).

3. Tính đơn điệu:

- \(y' > 0\) trên các khoảng \((-\infty; 1)\) và \((3; +\infty)\) \(\implies\) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty; 1)\) và \((3; +\infty)\).

- \(y' < 0\) trên các khoảng \((1; 2)\) và \((2; 3)\) \(\implies\) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((1; 2)\) và \((2; 3)\).

4. Cực trị:

- Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\), giá trị cực đại là: \[ y_{\text{CĐ}} = y(1) = \frac{1^2 - 3\cdot1 + 3}{1 - 2} = -1 \]

- Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 3\), giá trị cực tiểu là: \[ y_{\text{CT}} = y(3) = \frac{3^2 - 3\cdot3 + 3}{3 - 2} = 3 \]